登記は必要ですか

はい、会社の登記は会社法上の義務です。
具体的には、登記の原因が発生した日から、2週間以内に本店を管轄する法務局へ登記申請をする必要があります。登記の原因が発生した日とは、例えば、取締役などの役員が、就任した日辞任をした日となります。また、定時株主総会で役員を再選した場合には、その定時株主総会を開催した日となります。
なお、登記をしなかった場合には、代表者に対して最大で100万円以下の過料（注１）が課される可能性があります。
現実には、２週間を経過するとすぐに過料に課される訳ではありませんが、登記が遅くなるにつれて、過料が課される可能性が高まり、過料の額が多くなる可能性がありますので、放置せずまずはご相談ください。

注1　国又は地方公共団体が行政上の禁令を犯したものに科する金銭罰で、刑罰としての罰金とは異なります。